나비에-스톡스 방정식(Navier-Stokes equations)

 

 

나비에-스톡스 방정식(Navier-Stokes equations)은 유체 역학에서 유체의 운동을 설명하는 기본 방정식입니다. 이 방정식은 뉴턴의 운동 법칙을 기반으로 하며, 유체의 속도, 압력, 밀도, 그리고 점성에 관한 정보를 포함하고 있습니다. 나비에-스톡스 방정식은 다음과 같은 일반적인 형태를 가지고 있습니다:

운동 방정식 (Momentum Equation)

유체의 운동을 설명하는 나비에-스톡스 방정식은 다음과 같습니다:

나비에-스톡스 방정식

여기서:

• ρ는 유체의 밀도
• u는 유체의 속도 벡터
• t는 시간
• ∇는 그라디언트 연산자
• p는 압력
• μ는 점성 계수 (동점성 계수)
• ∇^2는 라플라스 연산자
• f는 외력 (예: 중력)

연속 방정식 (Continuity Equation)

유체의 질량 보존을 나타내는 연속 방정식은 다음과 같습니다:

이 방정식은 비압축성 유체(즉, 밀도가 일정한 유체)인 경우 단순화됩니다:

∇⋅u=0

의미와 응용

나비에-스톡스 방정식은 다양한 유체 역학 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 여기에는 다음과 같은 응용 분야가 포함됩니다:

• 항공기와 자동차의 공기역학 분석
• 기상 예측 모델링
• 해양 및 하천의 유동 분석
• 공정 공학에서의 화학 반응기 설계
• 생물학적 유동, 예를 들어 혈액 흐름

이 방정식은 매우 복잡하고, 일반적인 형태로는 해를 구하기 어려운 경우가 많습니다. 따라서 수치 해석 기법(예: 유한 차분법, 유한 요소법)을 사용하여 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 해를 구하는 경우가 많습니다.

요약

나비에-스톡스 방정식은 유체의 운동을 기술하는 기본 방정식으로, 다양한 유체 역학 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 합니다. 이 방정식은 운동 방정식과 연속 방정식으로 구성되며, 각각 유체의 운동과 질량 보존을 설명합니다.